Cầu Nối Của Logarit Và Cơ Số Tự Nhiên
Gần đây tôi có dịp đọc cuốn sách “Dưới chiếc ô Toán học” (Dưới chiếc ô Toán học - Người dịch cần thay bằng tên tiếng Việt chính thức nếu có). Đây là một tác phẩm khoa học phổ thông xuất sắc, dùng ngôn ngữ dễ hiểu để truyền tải những tri thức sâu sắc. Cấu trúc kiến thức trong sách khiến tôi nhớ đến cuốn “Từ Một đến Vô cực” (tựa tiếng Việt) mà tôi rất yêu thích, nhưng cách trình bày ở đây tỉ mỉ hơn nhiều. Đôi khi nếu đã nắm vững nội dung, độc giả có thể thấy phần giải thích hơi dài dòng, nhưng nếu đọc kỹ sẽ cảm nhận được tầng ý nghĩa sâu sắc hơn.
Sau khi đọc xong một lượt, vài ngày nay tôi cùng con trai đang đọc lại kỹ từng chương. Khi ôn lại phần “Cầu nối logarit” ở chương đầu, tôi bỗng thắc mắc về hai vấn đề: Động cơ nào đã thôi thúc John Napier sáng tạo bảng logarit độ chính xác cao? Và phương pháp tính toán cụ thể của ông ra sao? Sách không trả lời câu hỏi này, nên tôi đã tìm đọc bản dịch tiếng Anh của tác phẩm gốc “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” và thu hoạch được nhiều điều bất ngờ.
Nguyên nhân trực tiếp khiến bảng logarit ra đời là để đơn giản hóa phép tính nhân chia các số lớn. Điều thú vị là khái niệm logarit xuất hiện trước cả khái niệm lũy thừa. Ngày nay trong giảng dạy toán học, chúng ta thường tiếp cận logarit qua lũy thừa, nhưng cách này dường như ngược với tiến trình lịch sử. Các nhà toán học cổ đại nghiên cứu toán học chủ yếu để giải quyết các vấn đề thực tiễn. Phép nhân lúc đó phải gắn với ý nghĩa hình học cụ thể - diện tích hình vuông (bình phương cạnh), thể tích khối lập phương (lập phương cạnh)… Những lũy thừa bậc cao hơn hoặc số mũ hữu tỷ lại khó tìm thấy mô hình hình học tương ứng.
Trong thực tế, các số cực lớn và yêu cầu độ chính xác cao hiếm khi xuất hiện, trừ lĩnh vực thiên văn học. Vì không thể đo đạc trực tiếp từ không gian vũ trụ, con người phải dựa vào Trái Đất làm điểm chuẩn, sử dụng lượng giác để tính toán các khoảng cách thiên văn. Các bài toán như xác định khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, Mặt Trăng hay tính đường kính Trái Đất đều đòi hỏi độ chính xác cực cao - chỉ sai lệch nhỏ trong tính toán cũng dẫn đến sai số lớn.
Phương pháp thị sai tam giác được áp dụng để đo khoảng cách các thiên thể. Bằng cách chọn hai điểm xa nhất trên bề mặt Trái Đất (cách nhau tối đa bằng đường kính Trái Đất), ghi nhận góc quan sát thiên thể từ hai vị trí, ta tạo thành một tam giác với đáy là khoảng cách hai điểm quan sát. Tuy nhiên, với các thiên thể trong hệ Mặt Trời, góc thị sai cực nhỏ, đòi hỏi thiết bị quan sát và phép tính có độ chính xác phi thường mới có thể xác định khoảng cách vượt xa đường kính Trái Đất.
Phương pháp này thậm chí được mở rộng để đo khoảng cách đến các ngôi sao gần. Để có “thước đo” dài hơn, người ta chọn hai điểm cách nhau bằng quỹ đạo Trái Đất quanh Mặt Trời (khoảng cách gấp đôi khoảng cách Trái Đất - Mặt Trời). Tuy nhiên, ngay cả với “thước đo” khổng lồ này, các nhà thiên văn thời xưa vẫn không phát hiện được sự thay đổi vị trí của các ngôi sao qua nửa năm. Điều này khiến thuyết nhật tâm của Copernicus không chỉ bị các thần học gia phản đối mà ngay cả các nhà thiên văn như Tycho Brahe cũng hoài nghi.
Nếu Trái Đất thực sự quay quanh Mặt Trời, thì ít nhiều các ngôi sao gần sẽ phải thể hiện sự dịch chuyển thị sai khi quan sát từ hai phía đối xứng của quỹ đạo. Nhưng thực tế cho thấy không gian giữa các ngôi sao rộng lớn đến mức ngay cả với “thước đo” thiên văn học, góc thị sai cũng nhỏ hơn 1 giây góc (1/3600 độ). Phải đến giữa thế kỷ XIX (hơn 200 năm sau Copernicus), Friedrich Bessel mới quan sát được thị sai 0.3 giây của sao 61 Thiên Hạc, xác định khoảng cách khoảng 10 năm ánh sáng.
Độ chính xác trong đo đạc và tính toán đóng vai trò then chốt. Khi áp dụng các công thức lượng giác, nếu dùng logarit để chuyển phép nhân thành phép cộng mà thiếu độ chính xác, kết quả có thể sai lệch cả bậc độ lớn. Napier đã phát triển khái niệm logarit dựa trên ý nghĩa hình học chứ không phải từ lũy thừa. Cảm hứng của ông đến từ các công thức lượng giác: Việc chuyển đổi tổng góc thành tích các hàm lượng giác gợi ý mối liên hệ giữa phép cộng và phép nhân. Bảng logarit của Napier thực chất là bảng giá trị logarit của các hàm lượng giác, với 5400 mục tương ứng các góc từ 0 đến 90 độ tính theo phút (1/60 độ), độ chính xác đến 7 chữ số thập phân - tương ứng với bảng lượng giác chuẩn thời bấy giờ.
Trong thời đại chưa có máy tính, việc tính toán logarit phụ thuộc hoàn toàn vào bảng tra cứu. Vậy làm thế nào để tạo ra bảng logarit đầu tiên? Nếu tiếp cận theo hướng hàm ngược của lũy thừa, ta sẽ gặp bài toán khai căn phức tạp mà con người khó thực hiện thủ công. Hơn nữa, mối quan hệ nghịch đảo giữa logarit và lũy thừa chỉ được Euler khám phá 100 năm sau, còn khái niệm lũy thừa lúc đó thậm chí chưa rõ ràng.
Để minh họa, cuốn “Dưới chiếc ô Toán học” dùng logarit cơ số 2 với dãy số tự nhiên (1,2,3…) và dãy giá trị tương ứng (2,4,8…). Tuy nhiên cách này không thực dụng vì dãy giá trị tăng quá nhanh. Trong thực tế, người ta chọn cơ số gần 1 như 1.0000001 hoặc 0.9999999 để tạo dãy giá trị dày đặc hơn. Việc nhân với các số này chỉ cần dịch chuyển thập phân và phép cộng đơn giản, phù hợp với độ chính xác 7 chữ số của bảng lượng giác thời Napier. Về bản chất, đây chính là tiền thân của cơ số e - giới hạn của (1+1/n)^n khi n tiến đến vô cùng.
Napier nghiên cứu logarit trong phạm vi giá trị từ 0 đến 1, sử dụng bán kính vòng tròn khổng lồ 10^7 thay vì 1 như ngày nay. Điều này giúp